本記事は、2025年に実施された統計検定１級（統計応用・人文科学）問2について、投稿者が作成した解答・解説を掲載しています。
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[1]
2科目の平均点$\frac{X+Y}{2}$は次のように求められる。
\begin{align*}
\textrm{V} \left[ \frac{X+Y}{2} \right] &= \frac{1}{4} \textrm{V} [X+Y] \\
&= \frac{1}{4} (\textrm{V}[X] + \textrm{V}[Y] + 2\textrm{Cov}[X,Y]) \\
&= \frac{1}{4} (100 + 100 + 2 \times 40) = \frac{280}{4} = 70
\end{align*}
これより、$\frac{X+Y}{2} \sim N(50, 70)$となる。
ここで、$Z$は標準正規分布$N(0, 1)$に従う確率変数を表すとすると合格率は次のように求められる。
\begin{align*}
P \left( \frac{X+Y}{2} \ge 40 \right) &=
P\left( \frac{\frac{X+Y}{2} – 50}{\sqrt{70}} \ge \frac{40-50}{\sqrt{70}} \right)
\\
&\approx P(Z \ge -1.20) \approx 0.88
\end{align*}
また3科目の平均点$\frac{X+Y+Z}{3}$は次のように求められる。
\begin{align*}
\textrm{V}\left[ \frac{X+Y+Z}{3} \right] &= \frac{1}{9} \textrm{V}[X+Y+Z] \\
&= \frac{1}{9} (
\textrm{V}[X]+\textrm{V}[Y]+\textrm{V}[Z] +
2\textrm{Cov}(X,Y) + 2\textrm{Cov}(Y,Z) + 2\textrm{Cov}(Z,X) ) \\
&= \frac{1}{9} (100+100+100 + 2\times 40 + 2\times 80 + 2\times 20)
= \frac{580}{9} \approx 64.4
\end{align*}
これより、$\frac{X+Y+Z}{3} \sim N(50, 64.4)$となる。
合格率は次のように求められる。
\begin{align*}
P \left( \frac{X+Y+Z}{3} \ge 40 \right) &=
P\left(
\frac{\frac{X+Y+Z}{3} – 50}{\sqrt{64.4}} \ge \frac{40-50}{\sqrt{64.4}} \right)
\\
&\approx P(Z \ge -1.25) \approx 0.89
\end{align*}
合格率（母比率）$p=0.9$としたとき、シミュレーションから得られた合格率の標準誤差は二項分布$B(n, p)$からの標本比率の標準誤差となるので次のように与えられる。
\[
\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}
\]
ここで$n$はシミュレーションの試行回数である。
これより、標準誤差が$0.01$以下となる試行回数$n$は次のように求められる。
\begin{align*}
\sqrt{\frac{0.9(1-0.9)}{n}} &\le 0.01 \\
\sqrt{\frac{0.09}{n}} &\le 0.01 \\
\frac{0.3}{\sqrt{n}} &\le 0.01 \\
\sqrt{n} &\ge 30 \\
n &\ge 900
\end{align*}
よって、最低900回。
[2]
次の方程式において左辺の行列の積を計算し成分ごとに比較する。
\begin{align*}
\left(
\begin{array}{ccc}
b_{11} & 0 & 0 \\
b_{21} & b_{22} & 0 \\
b_{31} & b_{32} & b_{33}
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
b_{11} & b_{21} & b_{31} \\
0 & b_{22} & b_{32} \\
0 & 0 & b_{33}
\end{array}
\right)
&=
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0.4 & 0.2 \\
0.4 & 1 & 0.8 \\
0.2 & 0.8 & 1
\end{array}
\right)
\\
\left(
\begin{array}{ccc}
b_{11}^2 & b_{11}b_{21} & b_{11}b_{31} \\
b_{11}b_{21} & b_{21}^2 + b_{22}^2 & b_{21}b_{31} + b_{22}b_{32} \\
b_{11}b_{31} & b_{21}b_{31} + b_{22}b_{32} &
b_{31}^2 + b_{32}^2 + b_{33}^2
\end{array}
\right)
&=
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0.4 & 0.2 \\
0.4 & 1 & 0.8 \\
0.2 & 0.8 & 1
\end{array}
\right)
\end{align*}
ここで、問題文よりコレスキー分解した行列の対角成分は正である、つまり$b_{ii} > 0$であることに注意すると
\begin{align*}
b_{11}^2 = 1 &\implies b_{11} = 1 \\
b_{11}b_{21} = 0.4 &\implies b_{21} = 0.4 \\
b_{21}^2 + b_{22}^2 = 1 &\implies (0.4)^2 + b_{22}^2 = 1 \\
&\implies b_{22} = \sqrt{0.84} \approx 0.92 \\
b_{11}b_{31} = 0.2 &\implies b_{31} = 0.2 \\
b_{21}b_{31} + b_{22}b_{32} = 0.8 &\implies
0.2 \times 0.4 + \sqrt{0.84} b_{32} = 0.8 \\
&\implies b_{32} = \frac{0.72}{\sqrt{0.84}} \approx 0.79 \\
b_{31}^2 + b_{32}^2 + b_{33}^2 = 1 &\implies
0.2^2 + \frac{0.72^2}{0.84} + b_{33}^2 = 1 \\
&\implies b_{33}^2 = 1 – 0.04 – \frac{0.72^2}{0.84} \\
&\implies b_{33} \approx 0.59
\end{align*}
となる。
