本記事は、2022年に実施された統計検定１級・統計応用・社会科学の問2について、投稿者による解答例と解説を掲載しています。
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解答

[1]

基準年の指数を100としたラスパイレス価格指数は
\begin{align*}
P_L &=
\frac{43.12 \times 10363 + 119.86 \times 2272}
{44.75 \times 10363 + 119.86 \times 2272}
\times 100 \\ &= 97.183\cdots \approx 97.18
\end{align*}
より、97.18。

[2]

それぞれの指数は次のように与えられる。
ラスパイレス価格指数$P_L$は
\[
P_L = \frac{\dis{\sum_{i=1}^n p_{1i} q_{0i}}}{\dis{\sum_{i=1}^n p_{0i} q_{0i}}} \times 100
\]
パーシェ価格指数$P_P$は
\[
P_L =
\frac{\dis{\sum_{i=1}^n p_{1i} q_{1i}}}{\dis{\sum_{i=1}^n p_{0i} q_{1i}}} \times 100
\]
ラスパイレス数量指数$Q_L$は
\[
Q_L =
\frac{\dis{\sum_{i=1}^n p_{0i} q_{1i}}}{\dis{\sum_{i=1}^n p_{0i} q_{0i}}} \times 100
\]
パーシェ数量指数$Q_P$は
\[
Q_L =
\frac{\dis{\sum_{i=1}^n p_{1i} q_{1i}}}{\dis{\sum_{i=1}^n p_{1i} q_{0i}}} \times 100
\]
ここでは[1]と同様に基準年の指数を100とした。

[3]

それぞれを計算すると
\begin{align*}
\bar{x} &=
\sum_{i=1}^n w_i x_i =
\sum_{i=1}^n \frac{p_{0i}q_{0i}}{\dis{\sum_{j=1}^n p_{0j}q_{0j}}} \times
\frac{p_{1i}}{p_{0i}}
\\
&=
\frac{1}{\dis{\sum_{j=1}^n p_{0j}q_{0j}}} \times \sum_{i=1}^n p_{1i} q_{0i}
= P_L
\\
\bar{y} &=
\sum_{i=1}^n w_i y_i =
\sum_{i=1}^n \frac{p_{0i}q_{0i}}{\dis{\sum_{j=1}^n p_{0j}q_{0j}}} \times
\frac{q_{1i}}{q_{0i}}
\\
&=
\frac{1}{\dis{\sum_{j=1}^n p_{0j}q_{0j}}} \times \sum_{i=1}^n p_{0i} q_{1i}
= Q_L
\end{align*}
となり、個別価格指数$x_i$の加重平均がラスパイレス価格指数に、個別数量指数$y_i$の加重平均がラスパイレス数量指数に対応していることがわかる。
このときに[1]と[2]では100倍していたが、それは問題文に「基準年の指数を100とした」という指定があったので100倍していたので、この問題にはその指定がなかったので100倍していない。

[4]

ここで$w_i$を重みとする共分散$s_{xy}$は
\begin{align*}
s_{xy} &= \sum_{i=1}^n w_i (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y}) \\
&= \sum_{i=1}^n w_i (x_i y_i – \bar{x} y_i – \bar{y} x_i + \bar{x} \bar{y} ) \\
&= \sum_{i=1}^n w_i x_i y_i – \bar{x} \sum_{i=1}^n w_i y_i
– \bar{y} \sum_{i=1}^n w_i x_i + \bar{x} \bar{y} \sum_{i=1}^n w_i
\\
&= \sum_{i=1}^n w_i x_i y_i – \bar{x} \bar{y} – \bar{y} \bar{x} + \bar{x} \bar{y} \sum_{i=1}^n w_i
\end{align*}
となり、また
\[
\sum_{i=1}^n w_i =
\sum_{i=1}^n \frac{p_{0i}q_{0i}}{ \dis{\sum_{j=1}^n p_{0j}q_{0j}} } =
\frac{1}{ \dis{\sum_{j=1}^n p_{0j}q_{0j}} } \sum_{i=1}^n p_{0i}q_{0i}
= 1
\]
となるので、
\[
s_{xy} =
\sum_{i=1}^n w_i x_i y_i – \bar{x} \bar{y} – \bar{y} \bar{x}
+ \bar{x} \bar{y} \sum_{i=1}^n w_i
=\sum_{i=1}^n w_i x_i y_i – \bar{x} \bar{y} = \sum_{i=1}^n w_i x_i y_i – P_L Q_L
\]
となる。次に、$\sum_{i=1}^n w_i x_i y_i$に注目すると
\begin{align*}
\sum_{i=1}^n w_i x_i y_i &= \sum_{i=1}^n \frac{p_{0i}q_{0i}}{ \dis{\sum_{j=1}^n p_{0j}q_{0j}} }
\frac{p_{1i}}{p_{0i}} \frac{q_{1i}}{q_{0i}}
\\
&= \frac{1}{ \dis{\sum_{j=1}^n p_{0j}q_{0j}} }
\sum_{i=1}^n p_{1i} q_{1i}
\\
&= \frac{\dis{\sum_{i=1}^n p_{0j}q_{1j}} }{ \dis{\sum_{i=1}^n p_{0j}q_{0j}} }
\frac{\dis{\sum_{i=1}^n p_{1j}q_{1j}} }{ \dis{\sum_{i=1}^n p_{0j}q_{1j}} }
= P_P Q_L
\end{align*}
となる。
以上より
\[
s_{xy} = P_P Q_L – P_L Q_L = (P_P – P_L)Q_L
\]

[5]

まず、$P_P$、$P_L$、$Q_L$はそれぞれ価格$p_{ti}$や数量$q_{ti}$から計算されているので正の値をとる。これより、共分散は正（$s_{xy} > 0$）ならば$P_P > P_L$であり、共分散は負（$s_{xy} < 0$）ならば$P_P < P_L$の関係にある。
一般的に、消費者は価格が相対的に大きく上昇した品目($x_i$が大きい)の購入を控え（$y_i$が小さくなる）、価格があまり上昇しなかったあるいは下落した品目($x_i$が小さい)の購入を増やす（$y_i$が大きくなる）傾向がある。つまり、$x_i$が大きいと$y_i$が小さく、$x_i$が小さいと$y_i$が大きくなるので共分散$s_{xy}$は負の値をとる。この場合は$P_P < P_L$となる。